Материалы к вопросу №_

Фьючерсы с минимальной/максимальной ценой

начальник отдела управления рисками УСО ММВБ, д.т.н.

главный эксперт отдела управления рисками УСО ММВБ, к.ф.-м.н.

Фьючерсы на доллар США являются на сегодняшний день наиболее интересным для участников срочного рынка ММВБ инструментом. Открытый интерес по фьючерсам на доллар США в мае 1998 года превысил 700 тысяч позиций, а ежедневный оборот в отдельные дни достигал рекордных значений более одного миллиарда рублей. Это свидетельствует об активном использовании этих фьючерсов в целях хеджирования валютных рисков участниками рынка.

Однако, традиционные фьючерсы предоставляют лишь весьма ограниченные возможности защиты от валютных рисков. Основной недостаток фьючерса состоит в том, что он защищает от убытков только “при одностороннем изменении цены” – покупка фьючерса защищает только от повышения цены, продажа – только от понижения.

В связи с отмеченным недостатком фьючерсов большую популярность в мире приобрели опционы. Так, например, на Chicago Mercantile Exchange при открытии торгов срочными инструментами на курс рубля к доллару введены сразу как фьючерсы, так и опционы. Это значит, что для определенного месяца исполнения кроме фьючерса на курс рубля к доллару могут обращаться также 5-10 опционов с разными страйками.

Параллельное обращение фьючерсов и опционов позволяет участникам рынка использовать существенно более разнообразные стратегии хеджирования и/или спекулятивной игры, в частности, стратегии динамического хеджа.

С учетом сказанного естественно стремление участников российского срочного рынка получить возможность работать с инструментами опционного типа. Более того, отсутствие опционов вызывает у опытных участников срочного рынка, в частности, у зарубежных инвесторов чувство недоумения. Они просто не могут представить себе, как можно работать на финансовом рынке без опционов.

К сожалению, введение опционов в России в настоящее время осложнено целым рядом проблем нормативного характера. Так, например, при покупке опциона премия подлежит обложению налогом на добавленную стоимость. С учетом этого крайне желательно предложить участникам срочного рынка такой срочный инструмент, который по сути является фьючерсом, а по своим свойствам близок к опциону.

Идеология опционов в точности соответствует обычному страхованию от пожара, затопления и т.д. – заплатив “относительно небольшую” премию, можно застраховаться от “больших потерь”. Опционы существенно дополняют возможности участников рынка и, в частности, позволяют строить более разнообразные и более гибкие стратегии управления рисками. Например, купив call опцион и put опцион с одинаковой датой исполнения и одинаковыми страйками, можно застраховаться от изменения цены, т.е. и от понижения цены, и от повышения цены одновременно (соответствующая комбинация опционов называется стрэдл и подробно рассматривается в Приложении 1).

В случае поставочного опциона в день исполнения осуществляется поставка базового актива по страйк-цене X. В случае расчетного (без поставки) опциона в день исполнения покупатель получает компенсацию в соответствии с окончательной расчетной ценой (далее S – это спот курс базового актива в день исполнения):

Это значит, что покупатель, например, call опциона:

Смысл указанных формул для окончательной расчетной цены довольно очевиден – величина денежной компенсации в случае ее получения должна быть такой, чтобы мы смогли (в среднем) реализовать свое право купить/продать базовый актив по страйк-цене. Например, при получении компенсации S – X в случае call опциона мы добавляем ее к страйк-цене X и получаем сумму (S – X) + X = S, достаточную (в среднем) для покупки базового актива по рыночной цене.

Далее для определенности мы ограничимся рассмотрением расчетных опционов.

В мире используются две схемы расчетов по опционам. Исторически первой возникла схема, в которой покупатель опциона платит премию P единовременно в момент заключения сделки. В этом случае:

В последнее время получил распространение и другой способ расчетов – через вариационную маржу. Так, например, подобный способ расчетов используется на LIFFE и DTB для опционов на BUND-фьючерсы. В этом случае в процессе торгов происходит в точности то же самое – участники выставляют котировки цены (= премии) за право покупки/продажи в день исполнения по страйк-цене X. Но покупатель этого права, купивший его за премию P, не вносит ее единовременно – он обязан вносить только ежедневную вариационную маржу, равную разности премий за каждый день. Премия в данный торговый день (= расчетная цена торгового дня) определяется по алгоритму, используемому для традиционных фьючерсов. При этом в день исполнения в качестве окончательной премии используется окончательная расчетная цена C. Таблица 1 поясняет расчеты по вариационной марже.

Таблица 1. Расчеты через вариационную маржу

Торговый день	Расчетная цена	Вариационная маржа
1-ый (позиция открыта по цене P)	P₁	V₁=P₁_–P
2-ой	P₂	V₂= P₂ – P₁
...	...	...
последний (n-ый)	P_n	V_n= P_n – P_n_–₁
день исполнения	С – окончательная расчетная цена	V_исп= С – P_n
Итог

Таким образом, опцион переоценивается каждый день (mark-to-the-market) в соответствии с потерями/убытками P₁ – P, P₂ – P₁, P₃ – P₂, ... , P_n – P_n_–₁, C – P_n, где P_i – премия в день i (i = 1, 2,...,n). При этом сумма всех платежей оказывается равной C – P, т.е. совпадает со случаем “единовременной” уплаты премии. В этом смысле оба метода расчетов по опционам идентичны.

Предположим, что участник купил расчетный call опцион, а в день исполнения окончательная расчетная цена оказалась равной нулю (C = 0). При традиционном способе расчетов в день заключения сделки уплачена премия P. При расчетах же через вариационную маржу будет выплачена точно та же премия, но теперь она будет выплачена в течение периода времени с момента открытия позиции до дня исполнения.

Поскольку одна и та же сумма по разному “проходит во времени”, некоторые различия между опционами с расчетами через единовременную премию и через вариационную маржу все-таки могут иметь место. Это иллюстрирует следующий пример.

Предположим, что котировки не менялись с момента покупки, а окончательная расчетная цена оказалась равной премии, т.е. C = P. Тогда, в случае премиального опциона, в день покупки мы уплатили премию, а в день исполнения – получили ее обратно. В случае же вариационного опциона мы вообще ничего не платили по вариационной марже. Таким образом, в первом случае мы потеряли процент премии, соответствующий процентной ставке за период поддержания позиции. А во втором случае мы ничего не потеряли.

Учитывая, что опцион с расчетами через вариационную маржу по способу расчетов явно ближе к фьючерсу, чем к опциону, естественно задаться вопросом – а действительно ли подобный инструмент является опционом? Не есть ли это просто историческая ошибка, которая не играет никакой роли в западных странах, но оказывается фатальной для российского рынка?

Ответ на этот вопрос очевиден – да, опцион с расчетами через вариационную маржу действительно является фьючерсом! Чтобы убедиться в этом, достаточно вернуться к Таблице 1, из которой следует, что единственное различие между обычным фьючерсом и опционом с расчетом через вариационную маржу состоит в окончательной расчетной цене. Для обычного фьючерса в день исполнения окончательная расчетная цена равна спот курсу базового актива, а для опциона она равна величине компенсации C. Во всем остальном оба инструмента идентичны!

6. Фьючерсы с минимальной/максимальной ценой

С учетом сказанного в качестве искомого инструмента опционного типа в российских условиях в настоящее время целесообразно использовать именно опцион с расчетами через вариационную маржу. Но назвать этот инструмент следует фьючерс с фиксированной минимальной ценой (аналог call опциона) и фьючерс с фиксированной максимальной ценой (аналог put опциона). Правомерность подобной терминологии на примере опциона call поясняют рисунки 1-3 (для опциона put объяснение аналогично, но дополнительно необходимо изменить знак компенсации).

Для традиционного фьючерса окончательная расчетная цена равна спот-курсу базового актива в день исполнения. Это значит, что зависимость окончательной расчетной цены от спот-курса представляет собой прямую линию с углом наклона 45° (см. рисунок 1).

Установим теперь некоторый фиксированный порог X, ниже которого не может опускаться цена фьючерса в день исполнения. График расчетной цены для такого “фьючерса с минимальной ценой” показан на рисунке 2.

Теперь вспомним, что по фьючерсным позициям выплата прибылей/убытков производится в виде вариационной маржи, т.е. в виде разности расчетных цен фьючерса за текущий и предыдущий торговые дни. Отсюда следует, что при сдвиге графика вверх или вниз на константу платежи по вариационной марже не изменятся. С учетом этого в целях упрощения естественно сдвинуть график вниз на величину X, что эквивалентно вычитанию из всех котировок данного фьючерса с минимальной ценой постоянной величины X. В результате такого сдвига график окончательной расчетной цены для фьючерса с минимальной ценой приобретает вид, представленный на рисунке 3. Легко видеть, что этот график идентичен графику окончательной расчетной цены для опциона call.

Рис. 3. Окончательная расчетная цена для фьючерса с минимальной ценой X (после сдвига вниз)

Таблица 2 поясняет аналогию между фьючерсами с минимальной/максимальной ценой и опционами.

Таблица 2. Сопоставление фьючерсов с минимальной/максимальной ценой и опционов

В заключение, авторы хотели бы выразить благодарность А.Н. Балабушкину, главному эксперту Управления срочных операций ММВБ, за полезные замечания по содержанию статьи.

Рассмотрим поведение call и put опционов в день исполнения.

Покупатель call опциона рассчитывает на повышение спот-курса. Если в день исполнения опциона спот-курс окажется выше страйка, покупатель получит прибыль, если спот-курс будет ниже страйка, то окончательная расчетная цена и размер компенсации составят 0, а уплаченная премия будет потеряна.

Покупатель put опциона, напротив, надеется на понижение курса. При уменьшении курса ниже страйка участник получает прибыль (компенсацию) - это не совсем одно и то же - именно компенсацию, пропорциональную уменьшению курса. Если курс растет выше страйка, окончательная расчетная цена и, следовательно, компенсация равны 0, потери в этом случае равны выплаченной премии.

На рисунках 4, 5 приведены соответствующие графики окончательной расчетной цены опционов со страйком X = 6.60 в зависимости от стоимости базового актива.

Таким образом, из графиков, представленных на рисунках 3 и 4, видно, что окончательные расчетные цены для фьючерса с минимальной ценой и call опциона ведут себя совершенно идентично. Аналогично расчетные цены для фьючерса с максимальной ценой и купленного put опциона подчиняются одинаковой зависимости.

Для опционов предметом торга является премия - стоимость опциона, которая выплачивается участниками сделки при покупке или продаже опциона. Так как на стоимость опционов влияет много факторов - текущий курс базового актива, ожидания участников о размере колебаний цен, время до исполнения и т.п., у участников возникает необходимость оценить реальные затраты на поддержание той или иной комбинации позиций в зависимости от текущих рыночных параметров. С помощью модели ценообразования можно рассчитать предполагаемую стоимость опционных позиций в зависимости от состояния рынка, или, наоборот, подобрать такую комбинацию опционов, которая наилучшим образом соответствует текущему поведению рынка. Торговля опционами без модели ценообразования напоминает блуждание в пустыне без компаса.

В настоящее время для вычисления стоимости опционов существует несколько моделей. Одна из них - модель Блэка-Шоулса. Данная модель позволяет рассчитывать теоретическую цену опциона в зависимости от следующих параметров:

Теоретическая цена сall опциона определяется следующей формулой:

где

, N(x) - стандартная функция нормального распределения.

На рисунках 6, 7 приведены графики теоретической цены для call и put опционов на доллар США со страйком 6.30. При построении этих графиков использовалась модель Блэка-Шоулса и текущие значения рыночных параметров.

Используя формулу Блэка-Шоулса, рассмотрим как зависит стоимость опциона от волатильности.

При возрастании волатильности график цены опциона располагается выше. Это можно объяснить тем, что волатильность характеризует уверенность участников в ожидаемом поведении рынка. С увеличением колебаний стоимости базового актива повышается и стоимость опционов. На рисунке 8 приведены графики стоимости call опциона на доллар США со страйком 6.30 для значения волатильности s =4% (текущее состояние рынка) и s =8%.

Рис. 8. Влияние волатильности на стоимость call опциона

При использовании формулы Блэка-Шоулса следует помнить, что данные формулы предполагают нормальное распределение изменений цен. Однако, в реальных условиях это условие не всегда выполняется. Особенно это относится к развивающимся рынкам, в том числе и к российскому. Данный эффект наиболее заметен для опционов с малой стоимостью. Так как участники рынка всегда помнят о возможном экстремальном движении цен базового актива, которое приведет к сильному увеличению стоимости данных опционов, их реальная рыночная стоимость обычно оказывается более высокой, чем это следует из формулы Блэка-Шоулса. Это явление носит название volatility smile - улыбка волатильности.

Аналогичным образом можно исследовать поведение цены опциона в зависимости от времени до исполнения. При приближении к дню исполнения, т.е. с уменьшением t, стоимость опциона уменьшается, т.к. колебания цены за более короткий период времени будут меньше (при прочих равных условиях). И, напротив, для покупателя опциона при удалении от дня исполнения повышается вероятность получения прибыли от его реализации. Продавец опциона в этом случае будет требовать повышенную премию для защиты от большего риска.

На рисунке 9 показано влияние времени до исполнения на стоимость опциона.

Рис. 9. Влияние времени до исполнения на стоимость call опциона

Как уже отмечалось, опционы позволяют строить существенно более разнообразные стратегии хеджирования и/или спекулятивной игры по сравнению с использованием только фьючерсов. Так, например, если участник ожидает значительное движение цены базового актива, но не уверен в направлении этого движения, может использоваться стрэдл – одновременная покупка put и call опционов с одним сроком исполнения и одинаковыми страйками. Пример графика теоретической цены стрэдла в соответствии с формулой Блэка-Шоулса представлен на рисунке 10. При данной стратегии сильное отклонение цены базового актива от страйка в любую сторону приведет к прибыли участника. И, напротив, при незначительных изменениях потери могут быть существенны - для одного опциона уплаченная премия компенсируется лишь частично, для другого - полностью теряется. В случае если в период действия опциона наблюдается повышение, а затем падение спот-цены или наоборот, участник может получить прибыль от обеих сделок.

Баттерфляй-спрэд состоит из опционных позиций с тремя разными страйками – купленный call со страйком X₁, купленный call со страйком X₃ и два проданных call со страйком X₂. При этом X₁<X₂<X₃. Обычно значение X₂ находится около текущей цены базового актива и примерно посередине между X₁ и X₂. Пример графика теоретической цены баттерфляй-спрэда в соответствии с формулой Блэка-Шоулса представлен на рисунке 11. Данная стратегия приводит к прибыли, если цена базового актива остается около X₂. В то же время при существенном движении цены базового актива в любом направлении потери будут незначительные.

Рис. 11. Теоретическая цена баттерфляй-спрэда

Данное приложение не претендует на полноту изложения темы ценообразования опционов. Более подробно ознакомиться с опционами можно в следующей литературе.

День исполнения – в этот день происходит поставка базового актива по срочному инструменту или производится выплата компенсации в случае расчетного срочного инструмента.

Компенсация – для расчетных срочных инструментов, гарантирующих покупку базового актива в день исполнения по определенной цене, представляет собой величину денежной компенсации, достаточной для реализации этой возможности с учетом рыночной цены в день исполнения. Может выплачиваться как единовременно в день исполнения (традиционный “премиальный” опцион), так и в процессе выплаты вариационной маржи (фьючерсы и опционы, рассчитываемые через вариационную маржу).

Максимальная цена - параметр фьючерса с максимальной ценой, аналогичный страйку put опциона.

Минимальная цена - параметр фьючерса с минимальной ценой, аналогичный страйку call опциона.

Опцион – срочный инструмент, покупатель которого получает право (но не обязательство) в день исполнения купить (call опцион)/продать (put опцион) базовый актив по страйк-цене. Соответственно, продавец (=эмитент) обязан продать/купить базовый актив по страйк-цене, если покупатель решит воспользоваться своим правом.

Покупатель – обратите внимание, что в случае опциона покупатель не обязательно покупает. Так, например, покупатель put опциона получает право продать. Точно также продавец put опциона обязан купить.

Расчетный инструмент – в отличие от поставочных инструментов, для которых в день исполнения производится поставка базового актива, для расчетного инструмента производится выплата компенсации.

Страйк – цена, по которой покупатель опциона имеет право в день исполнения купить/продать базовый актив. Совпадает с понятием минимальной (опцион call) и максимальной (опцион put) цены.

Форвард – внебиржевой срочный инструмент, покупатель которого в день исполнения обязан купить базовый актив по цене заключения сделки. Соответственно, продавец обязан продать базовый актив по цене заключения сделки. Этот инструмент отличается от фьючерса лишь тем, что ежедневная корректировка по рынку (mark-to-the-market) не производится.

Фьючерс – биржевой срочный инструмент, покупатель которого в день исполнения обязан купить базовый актив по цене заключения сделки. Соответственно, продавец обязан продать базовый актив по цене заключения сделки. При этом, в результате ежедневной процедуры корректировки по рынку (mark-to-the-market) происходит ежедневная переоценка позиций.

Фьючерс с максимальной ценой – расчетный фьючерс на компенсацию в день исполнения за снижение цены базового актива ниже установленной для данного инструмента максимальной цены. По своим свойствам аналогичен расчетному put опциону с расчетами через вариационную маржу.

Фьючерс с минимальной ценой – расчетный фьючерс на компенсацию в день исполнения за повышение цены базового актива выше установленной для данного инструмента минимальной цены. По своим свойствам аналогичен расчетному call опциону с расчетами через вариационную маржу.

Фьючерсы с мин./макс. ценой	Опционы
Минимальная/максимальная цена	страйк
Фьючерс с минимальной ценой X	Call опцион со страйком X
Фьючерс с максимальной ценой X	Put опцион со страйком X
Цена	Премия
Торгуется право купить (продать) в день исполнения по мин. (соотв. макс.) цене	Торгуется право купить/продать в день исполнения по страйк-цене (т.е. то же самое)


Рис. 1. Окончательная расчетная цена для традиционного фьючерса	Рис. 2. Окончательная расчетная цена для фьючерса с минимальной ценой X (без сдвига вниз)


Рис. 4. Окончательная расчетная цена для купленного call опциона.	Рис. 5. Окончательная расчетная цена для купленного put опциона.


Рис. 6. Теоретическая цена call опциона на доллар США	Рис. 7. Теоретическая цена put опциона на доллар США